函数的一致连续性定义是：设f为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，都存在δ>0，使对任何x’，x”∈I，只要|x’-x”|<δ，就有|f(x’)-f(x”)|<ε，则称函数f在区间I上一致连续。我们应该怎么解读这个定义呢？
想要更好地解读一致连续性的定义，我们还要拿连续性的定义来做一个对比。f在I上连续的定义是：任给ε>0，对任何x∈I，都存在δ=δ(ε,x)，只要x’∈I且|x-x’|<δ，就有|f(x)-f(x’)|<ε.
比较两个定义，最大的区别就在于连续性的定义中，δ与x相关，可以把δ看作是ε和x的二元函数。当ε取定之后（虽然ε是任给的，但一经给出就取定了），δ就可以看作是x的函数。也 就是说，不同的x要取不同的δ。而一致连续性的定义中，δ只与ε有关，ε一经取定，δ就变成一个常数，它与x无关。也就是说，不同的x有相同的δ。
那么这个δ到底是一个什么东西呢？重新解题连续性以及一致连续性的定义，不论是|x-x’|<δ还是|x’-x”|<δ，它们都是指两个自变量的距离小于δ。而|f(x)-f(x’)|<ε或者|f(x’)-f(x”)|<ε，同样指的是两个函数值的(竖直)距离小于ε。而ε是一个变量，它可以是任意正数，但我们主要研究它无限小的时候的情况，因为当|f(x’)-f(x”)|小于一个较小的ε时，肯定也小于一个较大的ε。换句话说，就是在x或x'的附近，有一个区域，这个区域也叫做x或x'的邻域，这个邻域的半径就是δ，记做U(x,δ)或U(x',δ)，在这个邻域内的任意x或x"，都满足|f(x)-f(x’)|<ε或|f(x’)-f(x”)|<ε。
这么看来，两个概念还是蛮统一的嘛。没错，虽然连续性的δ与x有关，但所有的x对应的无数个δ中，我们只要取最小的一个，记为δ’, 则U(x,δ’)包含于U(x,δ)，也就是说，在x以δ’为半 径的邻域上，都有|f(x)-f(x’)|<ε。注意，此时的δ’就与x无关了。因此连续和一致连续是有可能统一的。这就引出了重要的一致连续性定理：若f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续。简单说成：在闭区间上连续必一致连续。
换句话说，在开区间上，连续就未必一致连续了。这是怎么回事呢？这是因为函数在开区间的端点上有可能趋于无穷大。这个时候，函数在开区间端点的附近（极小的区域内），就有可能出现一个ε，记为ε0，使得不论δ多小，在这个极小的区域内，可能存在两个自变量x', x"的距离|x'-x"|<δ，但|f(x’)-f(x”)|却大于ε0。这就不符合一致连续性的定义，所以就算函数在开区间上连续，它也未必在这个开区间上一致连续。
比如y=x^2，它在R上是连续的，但却不一致连续。因为存在一个ε0=1，不管正数δ多么小，只要n充分大，总有x’=n+1/n，x”=n，使|x’-x”|=1/n<δ，而|f(x’)-f(x”)|=(n+1/n)^2-n^2)=2>ε0，即f(x)=x^2在R上不一致连续.
不过只要你细想，这里其实是存在争议的。上面说“不管正数δ多么小，只要n充分大，……1/n<δ”，那为什么就不能有δ<1/n，假如只能有1/n<δ，那是不是就说明1/n就是最小的正数了呢？这显然是不对的。反过来说，如果上面的证明是合理的，那么根据连续性的定义，y=x^2在x'和x"这两个点上，都是不连续的啊。注意：x’是U(x",δ)上的任意点，x"也是U(x',δ)上的任意点)。这样的话，那不就证明了y=x^2是不连续函数了吗？
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